Krull Dimension

定义 Definition

Krull dimension（克鲁尔维数）是交换代数与代数几何中的一个“维数”概念：对一个环（常指交换环，尤其是诺特环）而言，它等于该环中素理想严格包含链的最大可能长度（若不存在最大值则可为无穷）。直观上，它衡量了由素理想构成的谱空间中“可嵌套的层级深度”，在几何上常对应代数簇/概形的维数。

发音 Pronunciation (IPA)

/krʊl dɪˈmɛnʃən/

例句 Examples

The Krull dimension of a field is zero.
域的克鲁尔维数是 0。

In commutative algebra, computing the Krull dimension of a quotient ring can reveal the geometric dimension of the corresponding variety.
在交换代数中，计算商环的克鲁尔维数常能揭示对应代数簇的几何维数。

词源 Etymology

“Krull”来自丹麦数学家 Wolfgang Krull（沃尔夫冈·克鲁尔）的姓氏，他在理想理论与维数理论方面有重要贡献；“dimension”意为“维数”。该术语用来纪念其在用素理想链刻画环的“维度”这一思想上的奠基性工作。

相关词 Related Words

• Dimension
• Prime Ideal
• Spectrum
• Noetherian
• Height
• Localization
• Integral Domain
• Quotient Ring

文学作品/经典教材中的用例 Notable Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）：在素理想与维数章节系统讨论 Krull dimension。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（Eisenbud）：将 Krull dimension 与几何直觉、例子紧密结合。
• Commutative Ring Theory（Matsumura）：以更深入的方式处理维数理论及相关不变量。
• Algebraic Geometry（Hartshorne）：在概形语言下，维数与谱（Spec）框架中常与 Krull dimension 相联系。
• Commutative Algebra（Bourbaki）：以公理化风格陈述素理想链与维数理论。